Redukált tömeg

A fizikában a redukált tömeg egy úgynevezett „hatékonyabb” tömeg a newtoni mechanika kéttest-problémáinak megoldására. Ez egy olyan mennyiség, ami által a kéttest-problémát úgy tárgyalhatjuk, mintha egytest-probléma lenne.

Zárt rendszerben lejátszódó mechanikai jelenségek tárgyalásánál az általunk kiválasztott anyagi pont viszonylagos mozgását leírhatjuk egy $\mu$ tömegű anyagi pontnak a kölcsönhatási erő hatására létrejövő mozgásával.

A redukált tömeget általában $\mu$-vel jelöljük, tömeg dimenziója van, mértékegysége SI-ben kg.

Egyenlet

Ha a két tömeg $m_{1}$, illetve $m_{2}$, akkor az általunk kiválasztott tömeget helyettesítjük :$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$-vel, a rá ható erő pedig a két test között fellépő kölcsönhatási erő lesz.

Levezetés

A két tömeg és a rájuk ható kölcsönhatási erők

Vizsgáljuk az $m_{1}$, illetve az $m_{2}$ anyagi pontok mozgását az $\mathbf {F} _{12}$ ($m_{1}$ részéről $m_{2}$-re ható kölcsönhatási erő) és $\mathbf {F} _{21}$ ($m_{2}$ részéről $m_{1}$-re ható kölcsönhatási erő) hatására.

Az anyagi pontok mozgásegyenletei:

${\frac {d\mathbf {v} _{1}}{dt}}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}$ illetve ${\frac {d\mathbf {v} _{2}}{dt}}={\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}$

ezeket egymásból kivonjuk:

${\frac {d\mathbf {v} _{1}}{dt}}-{\frac {d\mathbf {v} _{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})}{dt}}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}$

A $(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {v} _{12}$ az $m_{1}$ relatív sebessége az $m_{2}$-höz képest. Továbbá mivel $\mathbf {F} _{21}=-\mathbf {F} _{12}$ (a kölcsönhatási erők ellentétes irányításúak), tovább rendezhetjük az egyenletet:

${\frac {d}{dt}}\mathbf {v} _{12}=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}$

A $d\mathbf {v} _{12}/dt$ az $m_{1}$ tömegű anyagi pont $\mathbf {a} _{12}$ relatív gyorsulása. Bevezetve a

$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

jelölést, ahol $\mu$ tömeg dimenziójú mennyiség, és az egyenletbe helyettesítve következik:

$\mathbf {a} _{12}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}$.

Ez az összefüggés kimutatja, hogy két kölcsönhatásban lévő anyagi pont viszonylagos mozgása megfelel egy $\mu$ tömegű anyagi pontnak a kölcsönhatási erő hatására létrejövő mozgásával. Ezért nevezzük a $\mu$ mennyiséget redukált tömegnek.

Források

Filep Emőd és Néda Árpád: Mechanika. Egyetemi jegyzet. 110. oldal.